回転する図形の面積や体積

みなさん、こんにちは。

東進ゼミナール各務原校高校部です。本日は数学の問題ですが、おそらく1度や2度は目にしたことのある問題だと思います。

第1問　1辺の長さ2cmの正方形の1辺が回転軸に平行になるように置かれている。この正方形を回転軸の周りに1回転してできる立体の体積は？

解答

半径3cmの円柱から半径1㎝の円柱（高さはともに2cm）をくり抜いた立体なので、答えは 14π (㎤) です。

第2問　半径1cmの円を原点の周りに1回転したとき、円とその内部が通過してできる領域の面積は？

解答

半径4cmの円から半径2㎝の円をくり抜いたドーナツ型の図形なので、答えは 12π (㎠) です。

第3問　図のように横1cm、縦2cmの長方形が、縦の辺が y 軸に平行になるように置かれている。この長方形を原点のまわりに1回転させたときに長方形が通過する領域の面積は？

解答

長方形の中で原点から一番遠いのは長方形の右上（または右下）の角（頂点）で、その距離は√10 cm である。逆に一番近いのは長方形の左側の辺の中点であり、そこまでの距離は 2 cm であるから、半径√10 cm の円から半径 2 cm の円をくり抜いた形状になる。よって、答えは 6 π (㎠) です。

回転させたとき、平面なら図形そのものがドーナツ形状または円、立体でもその断面はドーナツ形状か円になるので、一番外側と一番内側の半径さえ分かれば、難しい図形を想像することもなく計算できてしまいます。

第4問と第5問は中学生では解けないと思います。解説は次回の記事でしたいと思います。理系の受験生はチャレンジしてみてください。

第4問　半径 1 cm の円板の中心と回転軸の距離が 2 cm であるとき、この円板を回転軸のまわりに1回転してできる立体の体積は？

第4問　3点 A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1) を結ぶ△ABCの辺ACの中点をDとする。△ABDを x 軸のまわりに1回転させたとき、△ABDの辺とその内部が通過する領域の体積は？