東進ゼミナール

先生ブログ

2020年07月31日 [深尾] [各務原校]

前回の問題,今回の問題先生画像

 すっかりごぶさたしてしまいました。前回=5月15日のブログで紹介した問題の解答です。

 

 

〔第1問〕奇数のうち、5の倍数でない正の整数を小さいほうから順に並べたとき、99番目の数を求めなさい。

 

 小さい順に書き出すと、1,3,7,9,11,13,17,19,・・・・となります。つまり、1の位が1,3,7,9の数が並びます。ですから、9までに4個,10~19に4個,20~29に4個,・・・となります。99÷4=24あまり3ですので、「4個ずつのかたまりが24個あって、さらに3個ある」ということになります。4個ずつのかたまりが24個で239までで、さらに3個ですから241,243,247となって答えは「247」です。

 

 

〔第2問〕整数nは1≦n≦100を満たす。n,n+2,n+4がすべて素数となる整数nは何個あるか。

 

 n=1のときは「1,3,5」でだめ。n=2のときは「2,4,6」でだめ。n=3のときは「3,5,7」でOK! でも、その先を調べても、3つとも素数になる場合が見つかりません。実は、n>3のときは、nが3の倍数ならnが素数でないのでだめ,nが3で割って1余る数ならn+2が3の倍数になってだめ(n=3m+1(mは自然数)とおくとn+2=3(m+1)),nが3で割って2余る数ならn+4が3の倍数になってだめ(n=3m+2とおくとn+4=3(m+2))なのです。ですから、この条件を満たすnは3だけしかなく、答えは「1個」です。

 

 

 さて、今回の問題です。第1問は中1,第2問は中1と中2に出した問題です。中学生でこれが解ければ、とっても優秀だと思いますよ。

 

〔第1問〕ある数に1を加えた数は、もとの数の絶対値を3倍した数と同じになる。このような数をすべて求めよう。[深尾作]

 

〔第2問〕次郎君が兄さんと100m競走をしたら、10m負けました。兄さんの出発点を何m後ろにすれば、2人いっしょに決勝点に着きますか。

      [私が大学生のときに家庭教師で使っていた問題集にのっていた問題]

 

 気が向いたらどうぞ。なお、第1問は式に表せば高1の方程式の問題になります。高校生の人なら確実に解けますよね??

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